GENERALIZACIÓN (Parametrizada y no Parametrizada)

“La ciencia siempre busca generalizaciones” (William Ross Ashby)

“Pensamos en generalidades, pero vivimos en detalles” (A.N. Whitehead)

“Uno debe siempre generalizar” (Carl Jacobi)

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Semántica

Una expresión genérica es una metaexpresión que permanece activa siempre, durante cualquier proceso de evaluación.

Una expresión genérica puede estar parametrizada o no:

• Si no está parametrizada, la expresión se evalúa permanentemente.
  
  
• Si está parametrizada, representa una clase de expresiones. Si esta expresión genérica contiene operadores activos (como = o →), entonces actúa sobre la evaluación de las expresiones base. Una expresión genérica parametrizada actúa en el tiempo y además en el espacio (de acuerdo con los parámetros, que son grados de libertad).

Los parámetros de una expresión genérica:

• Son nombres que representan a cualquier expresión.
  
  
• Cuando un parámetro aparece más de una vez en la expresión genérica, representa a la misma expresión.

Sintaxis

• Expresión genérica no parametrizada.
  Se especifica mediante paréntesis angulares extremos. Dentro puede aparecer cualquier expresión.
  
  
  ⟨ expresión ⟩
  
  
• Expresión genérica parametrizada.
  Se especifica mediante paréntesis angulares en los extremos y con los parámetros en negrita:
  
  
  ⟨ … x1 … xn … ⟩

Justificación

La expresión genérica es la primitiva principal, la más importante. Pertenece al lenguaje y al metalenguaje. Es una expresión y también una metaexpresión. Permite:

• Definir clases de expresiones como: funciones, reglas de inferencia, restricciones, eventos, objetos, etc.
• Definir operaciones derivadas a partir de las primitivas o de otras derivadas.
• Definir niveles meta.
• Expresar diferentes paradigmas de programación.

Ejemplos de expresiones genéricas no parametrizadas

1. ⟨( x>5 → (x° = 5) )⟩
   Especifica que, en todo momento, si x es mayor que 5, sustituirlo por 5.
   
   (x° = 4)
x // ev. 4
(x° = 7)
x // ev. 5
(x° = "abc") // x se evalúa como "abc"
   
   
2. ⟨( z = x+y )⟩
   Especifica que, en todo momento, z es la suma de x e y.
   
   (x° = 3)
(y° = 5)
z // ev. 8
(x° = 9)
z // ev. 14
(x° = x+1)
z // ev. 15
   
   
3. (x = 1)
(y = ⟨(x 2*x 3*x)⟩
y // ev. (1 2 3)
(x = 2)
y // ev. (2 4 6)
   
   
4. (x = 1)
(y = (a ⟨x⟩ b ⟨x⟩)
y // ev. (a 1 b 1)
(x = 2)
y // ev. (a 2 b 2)
   
   
5. (x = (3 5 7))
(y = (a ⟨x/1⟩ b ⟨x/2⟩ c ⟨x/3⟩)
y // ev. (a 3 b 5 c 7)
(x = (13 15 17))
y // ev. (a 13 b 15 c 17)

Ejemplos de expresiones genéricas parametrizadas

1. ⟨a+x+y+b⟩
   
   Representa a todas las expresiones de la forma a+x+y+b, en donde a y b son constantes y x e y son variables (los parámetros). Por ejemplo:
   
   a+1+7+b a+33+abc+b a+xxx+17.5+b etc.
   
   
2. ⟨ (x x) ⟩
   
   Representa a todas las secuencias de dos componentes iguales:
   
   (a a) (17 17) (a12 a12) etc.
   
   
3. ⟨(x a y) = (x+y x*y)⟩
   
   Esta expresión se puede leer “para todo x y para todo y”, (x a y) se sustituye por la secuencia (x+y x*y).
   
   (3 a 4) // ev. (3+4 3*4) ev. (7 12)
(u a v) // ev. (u+v u*v)
   
   
4. ⟨( f(x y) = (x+y x*y) )⟩
   
   Esta es la definición de una función de dos parámetros que produce una secuencia de dos componentes.
   
   f(3 4) // ev. (7 12)
f(a b) // ev. (a+b a*b)
   
   
5. ⟨( ⟨( f(x) = x+1 )⟩ ←' a>5 → ⟨( f(x) = x+5 )⟩ )⟩
(a = 4)
f(0) // ev. 1
(a = 6)
f(4) // ev. 9

La función f depende no solo del parámetro x, sino también de una variable a del espacio abstracto. Dependiendo del valor de a en cada momento, la definición de la función varía.

También se podría haber definido así:

⟨( f(x) = (x+1 ←' a>5 → x+5 )⟩


Observaciones

• Una expresión genérica parametrizada representa una expresión abierta.
  
  
• Una expresión genérica parametrizada es de tipo intensivo. Representa una clase o categoría de expresiones.
  
  
• Los parámetros pueden especificarse en todo tipo de expresiones y no sólo para tipos determinados (funciones, procedimientos, etc.), como en otros lenguajes.
  
  
• Los parámetros se denominan (o pueden considerarse) “expresiones genéricas elementales”, pues cada parámetro representa, efectivamente, una expresión genérica sobre las que se construyen expresiones genéricas más complejas.
  
  
• Las expresiones genéricas, en general, no se evalúan, a menos que incluyan operaciones que pueden realizarse. Por ejemplo, la expresión ⟨( f(x) = (x + x) )⟩ se evalúa como ⟨( f(x) = 2*x )⟩.
  
  
• Si los parámetros aparecen en una expresión no genérica, entonces se evalúan, como cualquier otra expresión. Por ejemplo,
  
  (y = x+x) // ev. (y = 2*x)
  
  En este caso, x es una variable más, que solo se interpreta como parámetro si aparece dentro de una expresión genérica.
  
  
• Una expresión genérica puede ser representada por otra para hacerla más legible. Por ejemplo:
  
  ⟨ (Do n = n1 a n2) y EndDo) =: ([n = [n1…n2] y]) ⟩

Parámetros restringidos y no restringidos

En una expresión genérica los parámetros pueden ser:

• No restringidos. Pueden ser cualquier expresión.
• Restringidos. Están limitados por una o varias condiciones.

Ejemplos:

1. ⟨( (x y) ← (x+y = 3) )⟩
   
   Representa a la clase de todas las secuencias de dos componentes que sumen 3:
   
   (0 3) (1 2) (-4 7) (a 3-a) etc.
   
   
2. ⟨( (x y) ← (x ≠ y) )⟩
   
   Representa a la clase de todas las secuencias de dos componentes distintos entre sí:
   
   (0 1) (0 2) (1 2) (a b) etc.

Parámetros posicionales y no posicionales

Los parámetros posicionales son los que ocupan siempre el mismo lugar físico dentro de la expresión genérica. Los no posicionales no están sujetos a esta restricción.

Ejemplo de expresión genérica con parámetros posicionales:

⟨( (1 x 2 y) = x+y )⟩
(1 13 2 15) // ev. 28

Ejemplo con parámetros no posicionales:

⟨( {1 x 2 y} = x+y )⟩
{1 2 13 14} // ev. 27
{13 1 2 14} // ev. 27

Los parámetros se pueden especificar también de forma tradicional, es decir, encerrados entre paréntesis y al final de un nombre, por ejemplo:

⟨( suma(x y) = x+y )⟩

En general, los parámetros se pueden especificar de forma mixfija en las expresiones, es decir, se pueden incluir los parámetros en cualquier lugar de una expresión. Por ejemplo,

⟨( (a x b y) = (a ← (x<y) →' b) )⟩
(a 1 b 2) // ev. a
(a 2 b 1) // ev. b


Especificación de transformaciones

Los parámetros se pueden utilizar para especificar transformaciones e incluso para cambiar la semántica de las operaciones.

Ejemplos:

1. ⟨( (x+y y+z) = x+z )⟩
(3+4 4+5) // ev. 8
   
   
2. ⟨( x+y = x*y )⟩
7+8 // ev. 56 (toda suma se transforma en producto)

Una especificación de sustitución puede contener distinto número de parámetros en el lado izquierdo que en el lado derecho, es decir, puede haber reducción o ampliación de parámetros.

Ejemplos:

1. Reducción.
   ⟨( ((x y) (y z)) = (x z) )⟩
((3 4) (4 7) // ev. (3 7)
(34 47) // ev. 37
   
   
2. Ampliación.
   ⟨( (x a y) = (x y z) )⟩
(13 a 25) // ev. (13 25 z)

Manipulación de expresiones genéricas

Las expresiones genéricas se pueden manipular igual que cualquier otra expresión: modificarlas, eliminarlas, sumarlas, asignarles atributos, etc.

Ejemplos:

1. ⟨a+x⟩/(a=7) // ev. ⟨7+x⟩
   
   
2. ⟨x⟩+⟨x⟩ // ev. 2*⟨x⟩
   
   
3. ( r = ⟨(x a y)⟩ )
(a = θ)
r // ev. ⟨(x y)⟩
   
   
4. ( ⟨(x+y+z)/(x=x)⟩ ≡ ⟨(x+y+z)⟩ )
   
   
5. ⟨(x y a)⟩/(x=θ) // ev. ⟨(y a)⟩ (se elimina un parámetro)

Axiomas

1. ( ⟨x⟩ ≡ Ω )
   Una expresión genérica constituida por un solo parámetro es equivalente a la expresión universal.
   
   
2. ( ⟨⟩ = θ )
   La expresión genérica vacía es la metaexpresión nula.

Expresiones genéricas de orden superior

Una expresión genérica (parametrizada o no) puede contener otra expresión genérica (parametrizada o no). Ejemplos:

1. ⟨( g(z) = ⟨( f(x y) = x+y+z )⟩ )⟩
g(1) // ev. ⟨( f(x y) = x+y+1 )⟩
   
   
2. ⟨( f(x y) = (x*y ⟨( g(z) = z+x+y )⟩ )⟩
f(3 4) // ev. (12 ⟨( g(z) = z+7 )⟩)

En una expresión genérica parametrizada de orden superior, los parámetros pueden ser ligados o libres:

• Un parámetro ligado es el que aparece en los dos niveles de expresiones genéricas parametrizadas.
  
  
• Un parámetro libre es el que no aparece nada más que en un nivel (el interno o el externo).

En los dos ejemplos anteriores:

1. z es un parámetro ligado; x, y son parámetros libres.
2. x, y son parámetros ligados; z es un parámetro libre.